尺规作图过程也可以看作利用圆规和直尺不断得到新的复数，所以问题就变成为：给了一批复数z0，z1，...zn和z，能否从z0，z1，...zn出发利用尺规得到复数z。
于是可给出如下递归定义：
定义：设s={z0=1，z1，...zn}是n+1个复数，将
(1)z0=1，z1，...zn叫做s-点；
(2)过两个不同的s-点的直线叫s-直线，以一个s-点为圆心、任意两个s-点之间的距离为半径的圆叫s-圆；
(3)由s-直线与s-直线、s-直线与s-圆、s-圆与s-圆相交的点也叫s-点。
上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以p表示全体s-点的集合，那么p也就是从s={z0=1，z1，...zn}出发通过尺规作图所得到的全部复数。
定理：设z1，...zn(n≥0)为n个复数。设f=q(z1，...zn，z1，...zn)，(z代表共轭复数)，那么，一个复数z可由s={z0=1，z1，...zn}作出的充要条件是z属于f(u1，...un)。其中u12属于f,ui2属于f(u1，...ui-1)。换言之，z含于f的一个2次根号扩张。
系：设s={z0=1，z1，...zn}，f=q(z1，...zn，z1，...zn)，z为s-点，则[f(z)：f]是2的方幂。
以下证明三等分任意角的不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角：
60度角即相当于复数z1=1/2+√3/2i。从而s={z0=1,z1}，f=q(z1,z1)=q(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到coos20满足方程4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在q[x]中不可约，从而[q(cos20)：q]=3，于是
6=[q(cooos20)：f][f：q]
由于[f：q]=[q(√-3)：q]=2，所以[f(coos20不是s-点，从而60度不可能三等分。
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有一位古希腊人埃拉托色尼，博学多才，不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。
他用简单的测量工具计算出了地球的周长，他发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城（今埃及阿斯旺附近），夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。
埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角（360度）的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长（40076公里）相差无几。
他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。他还测出黄赤交角的二倍是圆周的11/83。这些都充分反映了他的智慧。
埃拉托色尼还是首先使用“地理学”名称的人，写成了三卷专著，描述了地球的形状、大小和海陆分布，并用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理地理学。他的《地理学》是把地理置于合理的数学基础上的最早尝试。
他还创造了一种素数筛选的普遍公式，称为“埃拉托塞尼筛法”：
“要得到不大于某个自然数n的所有素数，只要在2---n中将不大于√n（根号n）的素数的倍数全部划去即可”。
他对倍立方问题做过一定的研究，并制造出一种器械作图方法，还记载了倍立方问题起源的故事：
倍立方问题的来源，可追溯到西元前429年，一场瘟疫袭击了希腊第罗斯岛(delos)，造成四分之一的人口死亡。岛民们推派一些代表去神庙请示阿波罗的旨意，神指示说：
要想遏止瘟疫，得将阿波罗神殿中那正立方的祭坛加大一倍。
于是人们把每边增长一倍，结果体积变成了8倍，瘟疫依旧蔓延；
人们又试着把体积变为原来的2倍，形状却变为一个长方体；
第罗斯岛人在万般无奈的情况下，只好鼓足勇气到雅典去求救於当时著名的学者柏拉图。
开始，柏拉图和他的学生根据平面作一个正方形，使它的面积等于已知正方形的2倍很容易，类推认为这个倍立方问题也很容易。但结果却难得超出他们想象。
其实这个问题，等价于对于任意定义的1用尺规做出三次根号2。简单说因为尺规作图只能做出有理数和有理数的2的n次方扩域，而含有三次根号2和有理数域的域对于有理数域的扩张次数肯定是三的倍数，不可能是2的n次方。所以尺规做不出三次根号二，也就完不成倍立方了。
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而化圆为方难题，同样有一个故事：
公元前5世纪，古希腊哲学家安那萨哥拉斯因为发现太阳是个大火球，而不是阿波罗神，犯有“亵渎神灵罪”而被投入监狱，被判处死刑。
在等待执行的日子里，夜晚安那萨哥拉斯总睡不着。圆圆的月亮透过正方形的铁窗照进牢房，使他对方铁窗和圆月亮产生了兴趣。他不断变换观察的位置，一会儿看见圆比正方形大，一会儿看见正方形比圆大。最后他说：“好了，就算两个图形面积一样大好了。”
安那萨哥拉斯把“求作
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